Física Universitaria 12 ED - Español

Hola a todos, los libros los encuentran en taringa, alli los publique asi que por ahi me dan puntos (si es que pueden darme) y los comentarios respectivos, que tengan un buen dia a todos.

Soy un estudiante de ing. software de la UPC en Perú. viendo la necesidad de que muchos estudiantes al igual que yo buscaban tener el libro de fisica, ampliamente conocido por todos, busque la forma de obtenerlo para todos ustedes, asi que ya saben recomienden los links a todos los que lo necesitan, gracias por su paciencia.

VOLUMEN 1:

http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/10643794/Fisica-universitaria-12ED-Volumen-1---Espanol.html

VOLUMEN 2:

http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/10958588/Fisica-universitaria-con-fisica-moderna-12ED_-Volumen-II.html

Diferentes maneras de contar

¿Cuántos sudokus hay? ¿Cuántas maneras hay de colorear los países de un mapa mundi? ¿Cómo organizar un festival de cine?

Izquierda: un mapa de Alemania (izquierda) y un sudoku (derecha) y sus representaciones en forma de grafos. Foto: Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization.

Antes de espantar a los posibles lectores de este artículo al mencionar la palabra “Matemáticas” recordemos que hay ramas de las Matemáticas, como la Matemática Discreta, que tienen aplicaciones directas en la vida cotidiana, constituyendo también parte de las bases de las ciencias de la computación.
¿Como podemos organizar el horario de proyección de las películas de un festival de cine de tal modo que aquellos interesados en distintos tipo de películas puedan asistir a todas ellas sin que las películas dentro del mismo tipo no se solapen? ¿Cuántos sudokus hay? ¿Cuántas maneras hay de colorear los países de mapa mundi? Vamos a ver que la Teoría de grafos trata de contestar a estas preguntas.
Muchos de estos problemas se pueden representar mediante un grafo. Un grafo se puede dibujar como una serie de puntos, denominados vértices, unidos por líneas llamadas aristas. La forma del grafo no es importante, así como la longitud de las aristas, aunque se puede asociar un peso a cada una de ellas. En los programas informáticos los grafos se representan mediante matrices, de esta manera es mucho más fácil su manipulación y más sencillo el efectuar operaciones sobre ellos.
A diferencia de la mayoría de teoremas clásicos de las Matemáticas, muchos de los algoritmos que resuelven de manera eficiente problemas implementados sobre grafos se descubrieron hace relativamente poco tiempo, en el pasado siglo. Así tenemos el algoritmos de Dijkstra (de 1959) que permite, por ejemplo, calcular el camino más corto entre dos ciudades sobre un mapa de carreteras, o el de Kruskal (de 1957) que permite, por ejemplo, saber el trazado de líneas telefónicas que interconecten distintos usuarios al menor costo gracias a que halla el árbol recubridor de peso mínimo.
Hay otros problemas más clásicos, como el de los puentes de Königsberg, ya analizado por Euler, que tuvieron solución hace tiempo gracias al algoritmo de Fleury. Este algoritmo nos permite, cuando es posible, resolver los típicos problemas de trazar un dibujo sin levantar el lápiz de papel y sin pasar más de una vez por el mismo sitio.
Pero hay otros problemas como el del viajante (que consiste en salir de la sede de la empresa y volver a ella visitando todas las ciudades una sola vez con el menor camino posible) que básicamente para el cual no hay un algoritmo que lo resuelva de manera eficiente. Aquí se entiende por “eficiente” el que sea resoluble en un tiempo polinómico. Es decir, que el tiempo de resolución en relación al tamaño del problema (en nuestro caso al número de vértices de nuestro grafo) crezca polinómicamente y no exponencialmente. Aunque hay muchos algoritmos que encuentran una buena aproximación al problema del viajante no existe ninguno que sea eficiente y que a la vez dé la mejor solución posible. La única manera de encontrar la mejor solución consiste básicamente en enumerar todas las posibilidades y escoger la mejor, algo sumamente ineficiente. Se sospecha que algunos de estos problemas nunca tendrán una solución eficiente (problemas NP y NP completos).
Los problemas relativos a la organización de horarios en festivales de cine, a posibles sudokus o a mapas del mundo se pueden intentar representar por grafos que tiene los vértices coloreados. En cada caso o problema los “colores” representan o simbolizan algo distinto y no necesariamente son literalmente colores.
En el ejemplo del mapa podemos asociar cada país a un vértice de un grafo y unirlos con una arista si tienen frontera en común. Dentro de las posibles coloraciones, las coloraciones propias son las más interesantes y consisten en que los vértices unidos por una arista no tengan el mismo color. En nuestro ejemplo pintar dos países vecinos con el mismo color no es una buena idea si los queremos distinguir en el mapa.
Saber cuantas coloraciones propias distintas con “q” colores se pueden obtener o el mínimo número de colores (número cromático) para colorear propiamente un grafo son preguntas muy difíciles de contestar. Contar cosas puede ser tremendamente difícil si el problema combinatorio no es muy sencillo.

Dos de las posibles 1152 maneras de colorear propiamente con cuatro colores un grafo en concreto. Foto: Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization.

Se conoce un algoritmo eficiente (de tipo voraz) que colorea propiamente un grafo para una ordenación de vértices dada. Si probamos con todas las ordenaciones y escogemos la que emplea el menor número de colores podemos averiguar el número cromático. Suena sencillo, pero es muy costoso al crecer factorialmente con el número de vértices. Si, por ejemplo, tenemos un grafo de sólo 10 vértices tendremos:

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800 posibles ordenaciones.

Si tenemos uno de 100 vértices entonces tendremos:

100! = 9.332621544394418 × 10¹⁵⁷ ¡posibles ordenaciones!

A veces si el grafo no es uno general, sino un grafo más sencillo, como en el caso del que representa los países de un mapa (grafo planar) se puede hacer algo, incluso demostrar teoremas. Uno muy famoso dice que dado cualquier mapa geográfico, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color. La demostración, que se fue asistida por computación, se realizó hace relativamente escasos años. Necesitaron más de 1200 horas de CPU para realizarla.
Aunque parezcan problemas académicos no lo son tanto y muchos campos de la Física y de otras ciencias se pueden aprovechar de cualquier avance en este campo.
Recientemente un grupo del Max Planck ha desarrollado un nuevo método de cálculo que permite resolver algunos problemas de coloreado de grafos de manera eficiente. El resultado no es muy importante, pero nos sirve para hablar de este tipo de problemas matemáticos y computacionales.
En todo caso su método permite responder a diversos problemas de coloreado de grafos de una manera más eficiente que hasta ahora. Se aplicaría a grafos en forma de red (por su similitud a una red cristalina) y se basa en dividir el problema en pequeños trozos. Trata de responder a la primera pregunta difícil de coloración propia antes mencionada sobre número de coloraciones. Dado un número determinado de colores, ¿de cuantas maneras podemos colorear un mapa? ¿Cuántos sudokus son posibles?
Una red, al ser un grafo sencillo, puede ser más fácil de estudiar, pero con la ventaja de poder aplicar los resultados a sistemas físicos, como una red cristalina con spines asociados a cada vértice o nodo de la red.
Frank van Bussel del MPIDS dice que “en los actuales algoritmos se tiene copia de toda la red para cada estado del cálculo y sólo cambios de un aspecto cada vez”. Al aumentar el número de vértices aumenta mucho el tiempo de cálculo. Para una red cuadrada del tamaño a la del tablero de ajedrez el tiempo de cálculo se estima en miles de millones de años. Con el nuevo algoritmo este mismo problema se puede calcular en siete segundos.
Con el nuevo método se explora vértice a vértice el sistema de tal modo que se efectúa el cálculo considerando sólo el próximo vértice y no la red completa. En cada paso, en lugar de evaluar el color a asignar, que implicaría saber las conexiones con los otros vértices, se evalúa una fórmula con ciertas incertidumbres. Según se progresa a lo largo de la red, barriendo todos los vértices, todas las conexiones se van poniendo de manifiesto y las incertidumbres finalmente desaparecen.
El método se puede aplicar además a sistema complejos sobre los que otros métodos son muy ineficientes, como en el caso de los sólidos antiferromagnéticos (en los que los spines tienden a orientarse antiparalelamente), permitiendo caracterizarlos desde el punto de vista termodinámico de esos sistemas físicos.
Partimos de la organización de festivales de cine, pasamos por mapas o sudokus y al final terminamos en el magnetismo que determina el funcionamiento del disco de ordenador que ahora está usando. No está mal para ser simples Matemáticas.

Lo que vio Galileo al mirar el Universo

Científicos pretenden abrir la tumba del astrónomo italiano para extraer su ADN y averiguar si sus problemas de visión influyeron en sus hallazgos

Galileo Galilei (1564-1642), considerado el padre de la astronomía moderna y un hereje por la Inquisición por sostener que la Tierra giraba alrededor del Sol, sufrió graves problemas de visión en la segunda mitad de su vida, quedando totalmente ciego dos años antes de morir. Un grupo de científicos británicos e italianos quiere exhumar los restos del astrónomo y someterlos a pruebas de ADN para determinar si ese mal afectó a sus teorías sobre el Universo.

El presidente de la Academia Oftalmológica Internationalis y especialista del Hospital Addenbrooke de la Universidad de Cambridge, Peter Watson, ha estudiado la letra del científico, sus cartas y dibujos, y sospecha que pudo padecer miopía en uno de los ojos, uveítis (inflamación de la túnica úvea) o un glaucoma de ángulo estrecho. Según Watson, Galileo no desarrolló ninguna de estas dolencias, de padecerlas, por mirar el Sol, sino por una serie de desórdenes sistémicos, aquellos que involucran a varios órganos o a todo el cuerpo y que también afectan a la visión, incluyendo el ataque que sufrió cuando era joven y que le dejó temporalmente sordo y las severas hemorragias y la artritis que le obligaron a guardar cama durante semanas.

El director del Museo de Historia y Ciencia de Florencia, ciudad en la que está enterrado el genio italiano, Paolo Galluzzi, cree que uno de los errores de Galileo atribuibles a sus problemas de visión y al primitivo telescopio utilizado fue su creencia de que Saturno tenía dos lunas. "Una prueba de ADN nos permitirá determinar en qué medida este mal podría haberle 'confundido", ha dicho Galluzzi. "Si descubrimos qué le ocurría exactamente podremos formular modelos matemáticos que simulen mediante ordenador los efectos que habrían tenido esos problemas de visión en lo que él contempló, usando un telescopio de las mismas características", ha resaltado.

Galileo fue enterrado en la Basílica de la Santa Cruz de Florencia un siglo después de su muerte. Previamente, sus restos mortales habían permanecido escondidos en un campanario porque la Iglesia se oponía a un entierro público. Sus restos fueron sepultados junto a los de uno de sus discípulos, Vincenzo Viviani, y los de una mujer anónima. Galuzzi y otros científicos creen que estos últimos restos pertenecen a uno de los tres hijos ilegítimos de Galileo, Sor María Celeste, una monja que murió a los 33 años. Ésta fue objeto del éxito de ventas La hija de Galileo, firmado por la escritora de libros de divulgación científica Dava Sobel. Las pruebas de ADN también podrían determinar si María Celeste fue efectivamente su hija.

Galluzzi ha afirmado que están esperando los permisos pertinentes de la Iglesia católica para exhumar al genio. De ser obtenida la autorización, un comité formado por historiadores, científicos y médicos acometería el ambicioso proyecto.

Fooplot: Graficador de Funciones Online

Fooplot es un gráficador de funciones matemáticas online. Puedes trazar funciones matemáticas una o dos variables lo que equivale a generar gráficas en dos y tres dimensiones sin necesidad de tener instalado ningún plugin adicional.

Esta herramienta funciona bajo cualquier navegador con soporte para SVG o VML, ha sido probado en IE6, IE7, Firefox 1.7, Firefox 2.0 y Opera 9.02. Soporta hasta 5 gráficos en paralelo en el caso de gráficos en dos dimensiones y entre las funciones matemáticas soportadas están: abs, acos, acosh, acot, actoh, acsc, acsch, asec, asech, asin, asinh, atan, atanh, ceil, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, floor, ln, sec, sech, sqrt, sin, sinh, tan, tanh. Además se tiene la posibilidad de hacer zoom y te permite manejar los rangos para los cuales se va a trazar el gráfico.

Para el caso de los graficos en tres dimensiones, puedes ingresar funciones con dos variables x e y las cuales trazarán el gráfico utilizando todas las funciones matemáticas disponibles. Además de ello se puede rotar la imagen generada para verla desde diferentes ángulos.

Es una herramienta muy bien lograda pues para los que en algún momento hemos resuelto ecuaciones complejas nos ayuda a encontrar la solución de forma mas rápida. Tiene muchas posibilidades de empleo pues es una herramienta de calculo.

El teorema de Wilson

Introducción

El teorema de Wilson es un resultado de teoría de números relacionado con la primalidad de un número entero positivo. Fue atribuido a John Wilson por su profesor Edward Waring. Éste último comentó que Wilson había dejado anotado este resultado en un cuaderno pero que no lo había demostrado (os suena esta historia, ¿verdad?). El propio Waring tampoco pudo hacerlo y tuvo que ser Lagrange en 1771 quien dio la primera prueba.

En esta entrada vamos a dar una sencilla demostración que utiliza propiedades más o menos elementales de teoría de números.

El teorema de Wilson

Teorema: Sea un número entero mayor que 1. Entonces es primo si y sólo si

Demostración:

De forma sencilla puede comprobarse que este resultado es cierto para y para . Supongamos entonces que 3">.

Para demostrar la implicación de derecha a izquierda (si entonces es primo) vamos a demostrar su contrarrecíproco, es decir, vamos a demostrar que si es compuesto entonces no se cumple esa igualdad:

Supongamos que es compuesto. Entonces sus divisores positivos se encuentran entre los enteros . Por tanto es claro que >1$. En particular tiene algún divisor 1">.

Supongamos ahora que el resultado es cierto, es decir, que . Como divide a entonces también divide a y, por la congruencia, divide a . Por tanto 1">. En consecuencia la implicación de derecha a izquierda es cierta. divide a 1, hecho que nos lleva a una contradicción con la condición

Supongamos ahora que es primo. Por tanto todos los enteros son primos relativos con . Por otra parte ese conjunto de números forma un grupo con la multiplicación, en concreto el grupo de los enteros módulo (en realidad, al ser primo ese conjunto es un cuerpo, pero ahora sólo nos interesa su condición de grupo con esa operación). Entre otras cosas eso significa que para todo existe un único tal que . También por ser primo se tiene que si y sólo si ó , es decir, y son inversos el uno del otro. Por tanto para cualquier otro elemento del grupo distinto de éstos se tiene que su inverso también es distinto de éstos. En consecuencia podemos agrupar el resto de elementos por parejas (cada uno junto a su inverso) para que se cumpla lo siguiente:

Esto es, . Multiplicando ahora a ambos lados por y utilizando que obtenemos el resultado buscado.

Utilidad del teorema

El teorema tiene principalmente valor teórico ya que en la práctica es relativamente complicado calcular para valores grandes de . Por eso generalmente antes que este teorema suelen usarse otros tests de primalidad, como el pequeño teorema de Fermat.

De todas formas es útil para generar a partir de él fórmulas de primos, es decir, fórmulas que generar números primos (en Gaussianos ya vimos algo así con los números primos pseudogemelos). Aunque, como en el caso anterior, suelen ser fórmulas poco prácticas por lo costoso que es calcular para muy grande.

De todas formas, como dije antes, la belleza del resultado reside en su valor teórico. Y algunas, en ocasiones, tenemos suficiente con ello.

Fuentes: Gaussianos